Variable change in LBE for source term

L’équation de Boltzmann discrète avec un terme source (ou terme force externe) \(\mathcal{S}_{i}^{\vartheta}\) peut s’écrire sous la forme suivante avec le terme de collision BGK :

(400)\[\frac{\partial\vartheta_{i}}{\partial t}+\mathbf{c}_{i}\cdot\boldsymbol{\nabla}\vartheta_{i}=-\frac{\vartheta_{i}-\vartheta_{i}^{eq}}{\tau_{\vartheta}}+S_{i}^{\vartheta}.\]

Dans ce qui suit, les calculs sont développés en posant \(\vartheta\equiv f\), \(\mathcal{S}_{i}^{\vartheta}=\mathcal{S}_{i}^{f}=\mathcal{S}_{i}\) et \(\tau_{\vartheta}\equiv\tau\), mais l’approche du changement de variable est également valable pour \(\vartheta\equiv h\) et \(\vartheta\equiv s\). Les termes qui sont évalués en \(\boldsymbol{x}\) et \(t\) sont notés \(f_{i}\equiv f_{i}(\boldsymbol{x},\,t)\), \(f_{i}^{eq}\equiv f_{i}^{eq}(\boldsymbol{x},\,t)\) et \(\mathcal{S}_{i}\equiv\mathcal{S}_{i}(\boldsymbol{x},\,t)\), tandis que les termes évalués en \(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{c}_{i}\delta t\) et \(t+\delta t\) sont notés avec une étoile : \(f_{i}^{\star}\equiv f_{i}(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{c}_{i}\delta t,\,t+\delta t)\), \(f_{i}^{\star eq}\equiv f_{i}^{eq}(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{c}_{i}\delta t,\,t+\delta t)\) et \(\mathcal{S}_{i}^{\star}\equiv\mathcal{S}_{i}(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{c}_{i}\delta t,\,t+\delta t)\). Avec ces notations, l’intégration de l’Eq. (400) entre \(t\) et \(t+\delta t\) donne :

(401)\[f_{i}^{\star}=f_{i}-\frac{\delta t}{2\tau}\left(f_{i}^{\star}-f_{i}^{\star eq}\right)-\frac{\delta t}{2\tau}\left(f_{i}-f_{i}^{eq}\right)+\frac{\delta t}{2}\mathcal{S}_{i}^{\star}+\frac{\delta t}{2}\mathcal{S}_{i}\]

où la loi des trapèzes à été appliquée pour le membre de droite de l’Eq. (400). Dans cette expression, pour les termes en \(\mathbf{x}+\mathbf{c}_{i}\delta t\) et \(t+\delta t\), on introduit le changement de variable suivant :

(402)\[\overline{f}_{i}^{\star}=f_{i}^{\star}+\frac{\delta t}{2\tau}\left(f_{i}^{\star}-f_{i}^{\star eq}\right)-\frac{\delta t}{2}\mathcal{S}_{i}^{\star}\]

Le même changement de variable est utilisé pour les termes en \(\boldsymbol{x}\) et \(t\) :

(403)\[\overline{f}_{i}=f_{i}+\frac{\delta t}{2\tau}\left(f_{i}-f_{i}^{eq}\right)-\frac{\delta t}{2}\mathcal{S}_{i}\]

En inversant cette dernière relation pour exprimer \(f_{i}\) en fonction de \(\overline{f}_{i}\), on obtient :

(404)\[f_{i}=\frac{2\tau}{2\tau+\delta t}\left(\overline{f}_{i}+\frac{\delta t}{2\tau}f_{i}^{eq}+\frac{\delta t}{2}\mathcal{S}_{i}\right)\]

Avec les Eqs. (402) et (404), l’Eq. (401) devient

(405)\[\overline{f}_{i}^{\star}=\overline{f}_{i}-\frac{\delta t}{\tau+\delta t/2}\left(\overline{f}_{i}-f_{i}^{eq}+\frac{\delta t}{2}\mathcal{S}_{i}\right)+\delta t\mathcal{S}_{i}\]

Si on définit un nouveau changement de variable

(406)\[\overline{f}_{i}^{eq}=f_{i}^{eq}-\frac{\delta t}{2}\mathcal{S}_{i}\]

alors l’Eq. (405) est équivalente à

(407)\[\overline{f}_{i}^{\star}=\overline{f}_{i}-\frac{\delta t}{\tau+\delta t/2}\left(\overline{f}_{i}-\overline{f}_{i}^{eq}\right)+\delta t\mathcal{S}_{i}\]

Sans le changement de variable sur \(f_{i}^{eq}\), l’Eq. (405) est équivalente à

(408)\[\overline{f}_{i}^{\star}=\overline{f}_{i}-\frac{\delta t}{\tau+\delta t/2}\left(\overline{f}_{i}-f_{i}^{eq}\right)+\frac{\tau\delta t}{\tau+\delta t/2}\mathcal{S}_{i}\]

où seul le facteur devant le terme source est modifié.

En introduisant le taux de collision sans dimension défini par \(\overline{\tau}=\tau/\delta t\), l’Eq. (407) s’écrit finalement

(409)\[\overline{f}_{i}^{\star}=\overline{f}_{i}-\frac{1}{\overline{\tau}+1/2}\left(\overline{f}_{i}-\overline{f}_{i}^{eq}\right)+\delta t\mathcal{S}_{i}\]

ou alternativement,

(410)\[\overline{f}_{i}^{\star}=\overline{f}_{i}-\frac{1}{\overline{\tau}+1/2}\left(\overline{f}_{i}-f_{i}^{eq}\right)+\frac{\overline{\tau}\delta t}{\overline{\tau}+1/2}\mathcal{S}_{i}\]

Dans les chapitres de cette documentation, l’Eq. (409) est l’équation d’évolution utilisée dans les algorithmes LBM. Le changement de variable Eq. (403) conduit à calculer les moments d’ordre zéro par :

(411)\[\mathcal{M}_{0}=\sum_{i}\overline{f}_{i}+\frac{\delta t}{2}\sum_{i}\mathcal{S}_{i}\]

Equivalence

On montre ici l’équivalence entre l’Eq. 6.25 dans [1] (page 239) et de l’Eq. (410)

Démonstrations de l’équivalence

Dans Krüger et al., l’équation d’évolution pour \(\overline{f}_{i}\) s’écrit (Eq. 6.25) :

(412)\[\overline{f}_{i}^{\star}=\overline{f}_{i}-\frac{\delta t}{\lambda}\left(\overline{f}_{i}-f_{i}^{eq}\right)+\left(1-\frac{\delta t}{2\lambda}\right)F_{i}\delta t\]

où \(\overline{f}_{i}^{\star}\equiv\overline{f}_{i}(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{c}_{i}\delta t,\,t+\delta t)\). On note que le temps de relaxation \(\lambda\) est homogène à un temps et il est défini sous 6.25 par

(413)\[\lambda=\tau+\frac{\delta t}{2}\]

On définit le taux de relaxation (sans dimension) par :

(414)\[\overline{\tau}=\frac{\tau}{\delta t}\]

En l’utilisant dans (413), on obtient :

\[\begin{split}\begin{aligned} \lambda & =\overline{\tau}\delta t+\frac{\delta t}{2}\nonumber \\ & =\left(\overline{\tau}+1/2\right)\delta t\label{eq:Lambda_adim} \end{aligned}\end{split}\]

En remplaçant dans Eq. (412), on obtient :

\[\overline{f}_{i}^{\star}=\overline{f}_{i}-\frac{1}{\overline{\tau}+1/2}\left(\overline{f}_{i}-f_{i}^{eq}\right)+\left(1-\frac{\delta t}{2\left(\overline{\tau}+1/2\right)\delta t}\right)F_{i}\delta t\]

En simplifiant le facteur devant \(F_{i}\), on obtient :

\[\left(1-\frac{\delta t}{2\left(\overline{\tau}+1/2\right)\delta t}\right)=\frac{2\overline{\tau}}{2\overline{\tau}+1}=\frac{\overline{\tau}}{\overline{\tau}+1/2}\]

Finalement, on obtient :

(415)\[\overline{f}_{i}^{\star}=\overline{f}_{i}-\frac{1}{\overline{\tau}+1/2}\left(\overline{f}_{i}-f_{i}^{eq}\right)+\frac{\overline{\tau}}{\overline{\tau}+1/2}F_{i}\delta t\]

qui correspond à l’Eq. (410).

Lien avec la formulation qui introduit \(\overline{f}_{i}^{eq}\)

L’Eq. (412) avec \(\lambda\) défini par l’Eq. (413) s’écrit :

\[\begin{aligned} \overline{f}_{i}^{\star} & =\overline{f}_{i}-\frac{\delta t}{\tau+\frac{\delta t}{2}}\left(\overline{f}_{i}-f_{i}^{eq}\right)+\left(1-\frac{\delta t}{2\tau+\delta t}\right)F_{i}\delta t \end{aligned}\]

En manipulant le dernier terme du membre de droite, on obtient :

\[\begin{split}\begin{aligned} \overline{f}_{i}^{\star} & =\overline{f}_{i}-\frac{\delta t}{\tau+\frac{\delta t}{2}}\left(\overline{f}_{i}-f_{i}^{eq}\right)-\frac{\delta t}{2(\tau+\delta t/2)}F_{i}\delta t+F_{i}\delta t\\ & =\overline{f}_{i}-\frac{\delta t}{\tau+\frac{\delta t}{2}}\left(\overline{f}_{i}-f_{i}^{eq}\right)-\frac{\delta t}{(\tau+\delta t/2)}\frac{\delta t}{2}F_{i}+F_{i}\delta t \end{aligned}\end{split}\]

En factorisant les second et troisième termes on obtient :

\[\overline{f}_{i}^{\star}=\overline{f}_{i}-\frac{\delta t}{\tau+\frac{\delta t}{2}}\left(\overline{f}_{i}-f_{i}^{eq}+\frac{\delta t}{2}F_{i}\right)+F_{i}\delta t\]

Si on pose :

\[\overline{f}_{i}^{eq}=f_{i}^{eq}-\frac{\delta t}{2}F_{i}\]

Alors on obtient :

\[\overline{f}_{i}^{\star}=\overline{f}_{i}-\frac{\delta t}{\tau+\frac{\delta t}{2}}\left(\overline{f}_{i}-\overline{f}_{i}^{eq}\right)+F_{i}\delta t\]

Encore une fois si on pose \(\overline{\tau}=\tau/\delta t\) alors :

\[\overline{f}_{i}^{\star}=\overline{f}_{i}-\frac{1}{\overline{\tau}+1/2}\left(\overline{f}_{i}-\overline{f}_{i}^{eq}\right)+F_{i}\delta t\]

qui est l’équation d’évolution LBE utilisée dans ce document.

Bibliography

[1]

Krüger T., H. Kusumaatmaja, A. Kuzmin, O. Shardt, G. Silva, E. Viggen, The Lattice Boltzmann Method: Principles and Practice, Graduate Texts in Physics, Springer, 2017.

Section author: Alain Cartalade