Principe de moindre action

On rappelle dans cette annexe le principe de moindre action et les équations d’Euler-Lagrange qui en découlent lorsqu’on considère la position \(q(t)\) et la vitesse \(\dot{q}(t)\) comme fonctions indépendantes et ou la seule variable indépendante est le temps \(t\). Ces équations du mouvement sont établies en supposant que la trajectoire réelle de la particule est celle qui rend son action \(\mathscr{S}\) stationnaire.

Action \(\mathscr{S}\) et Lagrangien \(\mathcal{L}\)

On considère une particule caractérisée par deux fonctions qui dépendent de l’unique variable indépendante \(t\) (le temps) : la position \(q(t)\) et la vitesse \(\dot{q}(t)\equiv dq(t)/dt\). On définit un Lagrangien \(\mathcal{L}\), une fonctionnelle qui dépend de ces deux fonctions \(\mathcal{L}(q(t),\,\dot{q}(t))\) et son action \(\mathscr{S}\) qui est définie par l’intégrale en temps du Lagrangien :

(297)\[\mathscr{S}[q]=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathcal{L}(q(t),\,\dot{q}(t))dt\]

Principe de stationnarité et dérivée variationnelle

La trajectoire de la particule est celle pour laquelle son action \(\mathscr{S}\) est stationnaire. La condition nécessaire pour l’obtenir est que sa première variation doit s’annuler (condition du premier ordre) :

(298)\[\delta^{(1)}\mathscr{S}=0\]

où l’opérateur \(\delta\) est l’opérateur variationnel (ou dérivée variationnelle) et l’indice supérieur \(^{(1)}\) signifie « premier ordre » qui sera omis par la suite. L’opérateur \(\delta\) est défini tel que :

(299)\[\delta[q(t)]=\overline{q}(t)-q(t)=\varepsilon\eta(t)\]

où \(\overline{q}(t)\) est une trajectoire arbitraire, \(q(t)\) la trajectoire optimale, \(\varepsilon\) un petit paramètre scalaire et \(\eta(t)\) une fonction quelconque telle que \(\eta(t_{1})=\eta(t_{2})=0\). On notera par la suite \(\varepsilon\eta(t)=\delta q(t)\) avec \(\delta q(t_{1})=\delta q(t_{2})=0\), ce qui donne :

(300)\[\overline{q}(t)=q(t)+\delta q(t)\]

En appliquant l’opérateur \(\delta\) à \(\mathcal{L}(q(t),\dot{q(t)})\) et en effectuant un développement de Taylor pour le premier terme, on obtient :

(301)\[\begin{split}\begin{eqnarray} \delta\mathcal{L} & = & \mathcal{L}\left(\overline{q}(t),\,\dot{\overline{q}}(t)\right)-\mathcal{L}\left(q(t),\dot{q}(t)\right)\\ & = & \mathcal{L}\left(q(t)+\delta q(t),\,\dot{q}(t)+\delta\dot{q}(t)\right)-\mathcal{L}\left(q(t),\,\dot{q}(t)\right)\\ & = & \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q}\delta q+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}}\delta\dot{q}+\mathcal{O}(\delta^{2}) \end{eqnarray}\end{split}\]

Équations d’Euler-Lagrange

Avec ces définitions, en appliquant l’opérateur delta à l’équation Eq. ([eq:ActionS-1]), on obtient (on peut montrer que l’opérateur delta commute avec l’intégrale) :

(302)\[\begin{split}\begin{eqnarray} \delta\mathscr{S} & = & \int_{t_{1}}^{t_{2}}\delta\mathcal{L}(q(t),\,\dot{q}(t))dt\\ & = & \int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q}\delta q+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}}\delta\dot{q}\right]dt \end{eqnarray}\end{split}\]

On intègre par partie le second terme de l’Eq. ([eq:Variation_Action-2]) :

(303)\[\int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}}\delta\dot{q}dt=\cancel{\left.\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}}\delta q\right|_{t_{1}}^{t_{2}}}-\int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}}\right)\delta qdt\]

Le premier terme du membre de droite s’annule à cause des conditions initiales \(\delta q(t_{1})=\delta q(t_{2})=0\) et on obtient :

(304)\[\delta\mathscr{S}=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}}\right)\right]\delta qdt\]

expression qui doit s’annuler quelle que soit la variation \(\delta q\), i.e.

(305)\[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}}\right)=0\]

qui est l’équation d’Euler-Lagrange.

Remarque

Cette équation peut se retrouver en reprenant les mêmes calculs et en considérant :

(306)\[\left.\frac{d\mathscr{S}[\overline{q}]}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}=0\]

Euler-Lagrange equation

L’hypothèse de stationnarité de l’action \(\mathscr{S}\) conduit à l’équation d’Euler-Lagrange:

(307)\[\boxed{\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}}\right)=0}\]

où \(\mathcal{L}\) is the Lagrangian which dependent of position \(q(t)\) and velocity \(\dot{q}(t)\). The independent variable is the time \(t\).

Plusieurs fonctions indépendantes

Lorsque Lagrangien défini par plusieurs fonctions \(q_{i}(t)\) et \(\dot{q}_{i}(t)\) pour \(i=1,\ldots,n\) :

(308)\[\mathcal{L}(q_{1},\,q_{2},\,\ldots,\,q_{n};\,\dot{q}_{1},\,\dot{q}_{2},\,\ldots,\,\dot{q}_{n})\equiv\mathcal{L}(q_{i},\,\dot{q}_{i})\]

alors on peut montrer de la même façon que :

(309)\[\boxed{\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_{i}}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_{i}}\right)=0}\]

c’est-à-dire une équation d’Euler-Lagrange pour chaque couple de fonctions \((q_{i},\dot{q}_{i})\). Par exemple pour \(i=1,2,3\) avec \(q_{i}=x_{i}\) et \(\dot{q}_{i}=\dot{x}_{i}\), alors on a trois équations d’Euler-Lagrange pour chaque indice \(i=1,2,3\).

Application: loi du mouvement de Newton

Le Lagrangien est défini par la différence entre l’énergie cinétique \(\mathcal{K}\) et l’énergie potentielle \(\mathcal{V}\) :

(310)\[\mathcal{L}(x,y,z,\dot{x},\dot{y},\dot{z})=\mathcal{K}(\dot{x},\dot{y},\dot{z})-\mathcal{V}(x,y,z)\]

i.e.

(311)\[\mathcal{L}(x_{i},\,\dot{x}_{i})=\mathcal{K}(\dot{x}_{i})-\mathcal{V}(x_{i})\qquad i=1,2,3\]

L’énergie cinétique est :

(312)\[\begin{split}\begin{eqnarray} \mathcal{K}(\dot{x},\dot{y},\dot{z})& = & \frac{1}{2}m|v|^{2}\\ & = & \frac{1}{2}m\left(\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}}\right)^{2}\\ & = & \frac{1}{2}m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right) \end{eqnarray}\end{split}\]

Dans ce cas, on a trois couples de fonctions dépendantes \((q_{i},\dot{q}_{i})\) pour \(i=1,2,3\) : \((x,\,\dot{x}), (y,\,\dot{y}), (z,\,\dot{z})\), et par conséquent trois équations d’Euler-Lagrange : \(m\ddot{x}=-\partial_{x}\mathcal{V}(\boldsymbol{x}),\, m\ddot{y}=-\partial_{y}\mathcal{V}(\boldsymbol{x}),\, m\ddot{z}=-\partial_{z}\mathcal{V}(\boldsymbol{x})\) i.e. en posant \(\boldsymbol{F}=-\boldsymbol{\nabla}\mathcal{V}(\boldsymbol{x})\) et \(\boldsymbol{a}=(\ddot{x},\,\ddot{y},\,\ddot{z})^{T}\):

(313)\[\boldsymbol{F}=m\boldsymbol{a}\]

On trouvera en annexe des exemples d’application de cette formulation Lagrangienne des équations du mouvement : double pendule oscillant, orbite d’une planète, pendule oscillant avec un ressort.