Appendix C: calculation of surface tension

On montre dans cette annexe que la tension de surface \(\sigma\) est de la forme \(\sigma=I\sqrt{2\zeta H}\) où \(I\) est une intégrale de la racine carrée du double-puits. Dans cette annexe, \(I\) est calculé pour trois formes typiques de double-puits usuellement rencontrées dans la littérature : \(_{1}(\phi)=\phi^{2}(1-\phi)^{2}\) qui possède des minima en \(\phi=0\) et \(\phi=1\); puis \(g_{2}(\phi)=(\phi-\phi_{l})^{2}(\phi-\phi_{g})^{2}\) qui possède des minima en \(\phi=\phi_{g}\) et \(\phi=\phi_{l}\) et enfin on calculera \(I\) pour \(g_{3}(\phi)=(\phi-\phi^{\star})^{2}(\phi+\phi^{\star})^{2}\) qui possède des minima en \(\phi=\pm\phi^{\star}\).

Calcul de la tension de surface

On part de la définition de la tension de surface en 1D :

(481)\[\sigma=\int_{-\infty}^{+\infty}\left[ Hg(\phi^{eq})+\frac{\zeta}{2}\left(\frac{d\phi^{eq}}{dx}\right)^{2}\right]dx\]

où l’indice supérieur \(^{eq}\) signifie qu’il s’agit de la solution d’équilibre (solution fondamentale Eq. (439)). Dans la suite on le supprime pour alléger les notations. En utilisant la relation Eq. (468), on obtient :

(482)\[\sigma=\int_{-\infty}^{+\infty}2Hg(\phi)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\zeta \left(\frac{d\phi}{dx}\right)^{2}dx\]

On effectue le changement de variable en transformant l’intégrale en \(x\) en intégrale en \(\phi\) en utilisant la relation Eq. (469) :

(483)\[\begin{split}\begin{eqnarray} \sigma & = & \int_{\phi^{min}}^{\phi^{max}}\frac{2Hg(\phi)}{\sqrt{2Hg(\phi)/\zeta}}d\phi\\ & = & \int_{\phi^{min}}^{\phi^{max}}\sqrt{2\zeta Hg(\phi)}d\phi\\ & = & \sqrt{2\zeta H}\int_{\phi^{min}}^{\phi^{max}}\sqrt{g(\phi)}d\phi \end{eqnarray}\end{split}\]

Les bornes de l’intégrale en \(\phi\) dépendent du choix de la fonction de double-puits. En toute généralité, sans faire aucune hypothèse sur la forme de la fonction \(g(\phi)\), la tension de surface s’écrit :

(484)\[\sigma=I\sqrt{2\zeta H}\]

avec

(485)\[I=\int_{\phi^{min}}^{\phi^{max}}\sqrt{g(\phi)}d\phi\]

où les bornes \(\phi^{min}\) et \(\phi^{max}\) de l’intégrale \(I\) dépendent du choix de la fonction \(g(\phi)\). Dans les sections suivantes, on calcule ces intégrales \(I\) pour plusieurs formes typiques de \(g(\phi)\).

Cas \(g_{1}(\phi)=\phi^{2}(1-\phi)^{2}\)

Dans le cas où \(g(\phi)=\phi^{2}(1-\phi)^{2}\), les bornes de l’intégrale sont \(\phi^{min}=0\) et \(\phi^{max}=1\) :

(486)\[\begin{split}\begin{eqnarray} \sigma & = & \sqrt{2\zeta H}\int_{0}^{1}\sqrt{g_{1}(\phi)}d\phi\\ & = & \sqrt{2\zeta H}\int_{0}^{1}\phi(1-\phi)d\phi \end{eqnarray}\end{split}\]

L’intégration est directe et vaut \(\int_{0}^{1}\phi(1-\phi)d\phi=1/6\). Finalement

(487)\[\boxed{\sigma=\frac{1}{6}\sqrt{2\zeta H}}\]

Cas particulier où \(g(\phi)=8\phi^{2}(1-\phi)^{2}=8g_{1}(\phi)\)

Dans un cas particulier où on mulitiplie cette fonction double-puits par un coefficient constant, par exemple \(k=8\), on obtient :

(488)\[\begin{split}\begin{eqnarray} \sigma & = & \sqrt{2\zeta H}\int_{0}^{1}\sqrt{g(\phi)}d\phi\\ & = & \sqrt{2\zeta H}\int_{0}^{1}\sqrt{8g_{1}(\phi)}d\phi\\ & = & \sqrt{2\zeta H\times8}\int_{0}^{1}\phi(1-\phi)d\phi\\ & = & \frac{2}{3}\sqrt{\zeta H} \end{eqnarray}\end{split}\]

Cas \(g_{2}(\phi)=(\phi_{l}-\phi)^{2}(\phi-\phi_{g})^{2}\)

Pour certains problèmes de changement de phase liquide/gaz, le double-puits prend la forme \(g_{2}(\phi)=(\phi_{l}-\phi)^{2}(\phi-\phi_{g})^{2}\) en supposant que \(\phi_{g}<\phi<\phi_{l}\). On fera attention en prenant la racine de cette fonction à bien respecter l’ordre \(\phi_{l}-\phi\) et \(\phi-\phi_{g}\) car les différences doivent rester positives (car \(\phi_{g}<\phi<\phi_{l}\)). Dans ce cas les bornes de l’intégrale varient de \(\phi^{min}=\phi_{g}\) à \(\phi^{max}=\phi_{l}\) :

(489)\[\begin{split}\begin{eqnarray} \sigma & = & \sqrt{2\zeta H}\int_{\phi_{g}}^{\phi_{l}}\sqrt{g_{2}(\phi)}d\phi\\ & = & \sqrt{2\zeta H}\int_{\phi_{g}}^{\phi_{l}}(\phi_{l}-\phi)(\phi-\phi_{g})d\phi \end{eqnarray}\end{split}\]

Pour le calcul de l’intégrale, on peut utiliser \(\texttt{wxmaxima}\), et on trouve \(\int_{\phi_{g}}^{\phi_{l}}(\phi_{l}-\phi)(\phi-\phi_{g})d\phi=(\phi_{l}-\phi_{g})^{3}/6\). Finalement, on obtient

(490)\[\boxed{\sigma=\frac{(\phi_{l}-\phi_{g})^{3}}{6}\sqrt{2\zeta H}}\]

Cas \(g_{3}(\phi)=(\phi^{\star}-\phi)^{2}(\phi+\phi^{\star})^{2}\)

Une autre fonction double-puits typique est \(g_{3}(\phi)=(\phi^{\star}-\phi)^{2}(\phi+\phi^{\star})^{2}\) qui possède ses deux minima en \(-\phi^{\star}\) à \(+\phi^{\star}\). Le choix \(\phi^{\star}=1\) est souvent utilisé en solidification et croissance cristalline. Il s’agit d’un cas particulier du cas précédent en posant \(\phi_{l}=\phi^{\star}\) et \(\phi_{g}=-\phi^{\star}\). Avec ces changements on peut directement déduire que le coefficient devant la racine carrée vaut \((2\phi^{\star})^{3}/6=4\phi^{\star3}/3\). On le vérifie en calculant \(\sigma\) en repartant de la relation générale. Dans ce cas les bornes de l’intégrale varient de \(\phi^{min}=-\phi^{\star}\) à \(\phi^{max}=+\phi^{\star}\) :

(491)\[\begin{split}\begin{eqnarray} \sigma & = & \int_{-\phi^{\star}}^{+\phi^{\star}}\frac{2Hg_{3}(\phi)}{\sqrt{2Hg_{3}(\phi)/\zeta}}d\phi\\ & = & \sqrt{2\zeta H}\int_{-\phi^{\star}}^{+\phi^{\star}}(\phi^{\star}-\phi)(\phi+\phi^{\star})d\phi \end{eqnarray}\end{split}\]

En utilisant \(\texttt{wxmaxima}\) on trouve bien que l’intégrale vaut \(\int_{-\phi^{\star}}^{+\phi^{\star}}(\phi-\phi^{\star})(\phi+\phi^{\star})d\phi=4\phi^{\star3}/3\). Finalement on obtient :

(492)\[\sigma=\frac{4\phi^{\star3}}{3}\sqrt{2\zeta H}\]

Section author: Alain Cartalade