Annexe A : minimisation d’une fonctionnelle d’énergie libre

On considère une fonction \(\phi(x,y,z):=\phi(\boldsymbol{x})\) qu’on appelle « indicatrice de phase » qui est une fonction de la position \(\boldsymbol{x}\). On s’inspire de l’action \(\mathscr{S}[q]\) et du « principe de moindre action » pour introduire une « fonctionnelle d’énergie libre » \(\mathscr{F}[\phi]\) qui est définie par l’intégrale sur le volume d’une « densité d’énergie libre \(\mathcal{F}(\phi(\boldsymbol{x}),\boldsymbol{\nabla}\phi)\) :

(454)\[\begin{split}\begin{eqnarray} \mathscr{F}[\phi] & = & \int_{x_{1}}^{x_{2}}\int_{y_{1}}^{y_{2}}\int_{z_{1}}^{z_{2}}\mathcal{F}(\phi,\underbrace{\partial_{x}\phi,\partial_{y}\phi,\partial_{z}\phi}_{\equiv\boldsymbol{\nabla}\phi})\underbrace{dxdydz}_{\equiv dV}\\ & = & \int_{V}\mathcal{F}(\phi,\boldsymbol{\nabla}\phi)dV \end{eqnarray}\end{split}\]

où V est un volume. On établit l’équation d’Euler-Lagrange en 1D puis en 3D.

Euler-Lagrange 1D : fonctions \(\phi(x)\) et \(d\phi/dx\)

En 1D la fonctionnelle \(\mathcal{F}(\phi(x),\phi^{\prime}(x))\) décrit la « densité d’énergie libre » du système et \(\phi^{\prime}(x)\equiv d\phi/dx\). L’énergie libre totale du système s’écrit (intégration en espace) :

(455)\[\mathscr{F}[\phi]=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\mathcal{F}(\phi,\phi^{\prime})dx\]

En appliquant l’opérateur \(\delta\) à l’Eq. (455), on obtient :

(456)\[\begin{split}\begin{eqnarray} \delta\mathscr{F} & = & \int_{x_{1}}^{x_{2}}\delta\mathcal{F}(\phi,\phi^{\prime})dx\\ & = & \int_{x_{1}}^{x_{2}}\left[\frac{\partial\mathcal{F}}{\partial\phi}\delta\phi+\frac{\partial\mathcal{F}}{\partial\phi^{\prime}}\delta\phi^{\prime}\right]dx \end{eqnarray}\end{split}\]

Puis en intégrant par parties (avec \(\delta\phi(x_{1})=\delta\phi(x_{2})=0\)) le second terme on obtient :

(457)\[\delta\mathscr{F}=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left[\frac{\partial\mathcal{F}}{\partial\phi}-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial\mathcal{F}}{\partial\phi^{\prime}}\right)\right]\delta\phi dx=0\]

Finalement, comme la condition du premier ordre \(\delta\mathscr{F}=0\) doit être vraie quelle que soit la variation \(\delta\phi\), on obtient :

(458)\[\boxed{\frac{\partial\mathcal{F}}{\partial\phi}-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial\mathcal{F}}{\partial\phi^{\prime}}\right)=0}\]

qui est l’équation d’Euler-Lagrange en 1D pour une fonctionnelle \(\mathcal{F}(\phi,\,\phi^{\prime})\) donnée où \(\phi\) est une fonction de la position \(x\). Il s’agit d’une équation similaire à celle à temps où la dérivée par rapport au temps \(d/dt\) est remplacée par une dérivée par rapport à la position \(d/dx\).

Euler-Lagrange 3D : fonctions \(\phi(\boldsymbol{x})\) et \(\boldsymbol{\nabla}\phi\)

On considère maintenant une fonction à trois variables indépendantes \(\phi(x,y,z)\equiv\phi(\boldsymbol{x})\) et une densité d’énergie libre qui est fonction de \(\phi\), et de ses trois dérivées \(\partial_{x}\phi\), \(\partial_{y}\phi`\) et \(\partial_{z}\phi\) :

(459)\[\mathcal{F}(\phi,\partial_{x}\phi,\partial_{y}\phi,\partial_{z}\phi):=\mathcal{F}(\phi,\boldsymbol{\nabla}\phi)\]

En généralisant en 3D, la densité d’énergie libre est une fonction de \(\phi\) et de son gradient \(\boldsymbol{\nabla}\phi\). L’Eq. ([eq:EnergieLibre_F]) s’écrit :

(460)\[\mathscr{F}[\phi]=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\int_{y_{1}}^{y_{2}}\int_{z_{1}}^{z_{2}}\mathcal{F}(\phi,\partial_{x}\phi,\partial_{y}\phi,\partial_{z}\phi)dxdydz\]

En appliquant l’opérateur \(\delta\):

(461)\[\begin{split}\begin{eqnarray} \delta\mathscr{F}[\phi] & = & \int_{x_{1}}^{x_{2}}\int_{y_{1}}^{y_{2}}\int_{z_{1}}^{z_{2}}\delta\mathcal{F}(\phi,\partial_{x}\phi,\partial_{y}\phi,\partial_{z}\phi)dxdydz\\ & = & \int_{x_{1}}^{x_{2}}\int_{y_{1}}^{y_{2}}\int_{z_{1}}^{z_{2}}\Biggl[\frac{\partial\mathcal{F}}{\partial\phi}\delta\phi+\frac{\partial\mathcal{F}}{\partial(\partial_{x}\phi)}\delta(\partial_{x}\phi)+\frac{\partial\mathcal{F}}{\partial(\partial_{y}\phi)}\delta(\partial_{y}\phi)+\frac{\partial\mathcal{F}}{\partial(\partial_{z}\phi)}\delta(\partial_{z}\phi)\Biggr]dxdydz\\ & = & \int_{V}\left[\frac{\partial\mathcal{F}}{\partial\phi}\delta\phi+\sum_{\alpha=x,y,z}\frac{\partial\mathcal{F}}{\partial(\partial_{\alpha}\phi)}\delta(\partial_{\alpha}\phi)\right]dV \end{eqnarray}\end{split}\]

Pour le 2nd terme, on utilise la convention de sommation d’Einstein pour les indices répétés (on supprime le signe somme) et on commute les opérateurs \(\delta\) et \(\partial_{\alpha}\):

(462)\[\delta\mathscr{F}[\phi]=\int_{V}\left[\frac{\partial\mathcal{F}}{\partial\phi}\delta\phi+\frac{\partial\mathcal{F}}{\partial(\partial_{\alpha}\phi)}\partial_{\alpha}(\delta\phi)\right]dV\]

On intègre par parties le second terme et on obtient :

(463)\[\delta\mathscr{F}[\phi]=\int_{V}\left[\frac{\partial\mathcal{F}}{\partial\phi}-\partial_{\alpha}\left(\frac{\partial\mathcal{F}}{\partial(\partial_{\alpha}\phi)}\right)\right]\delta\phi dV\]

expression dans laquelle on reconnait l’opérateur divergence. Finalement d’Euler-Lagrange correspondante est :

(464)\[\boxed{\frac{\partial\mathcal{F}}{\partial\phi}-\boldsymbol{\nabla}\cdot\left(\frac{\partial\mathcal{F}}{\partial(\boldsymbol{\nabla}\phi)}\right)=0}\]

Section author: Alain Cartalade